Eliminación Gaussiana con Pivoteo Parcial

Algoritmo Directo para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Estructura Algorítmica (Pseudocódigo)

$$ [A|b] \xrightarrow{\text{Pivoteo + Triangulación}} [U|c] \xrightarrow{\text{Retrosustitución}} x $$
Leer A, b, n Carga la matriz de coeficientes, el vector solución y la dimensión del sistema.
Para k desde 1 hasta n-1 Hacer: Etapa principal de eliminación para cada columna de la matriz.
// --- PROCESO 1: PIVOTEO PARCIAL ---
Fila_Max = k Asume inicialmente que la fila actual posee el valor absoluto más alto en la columna.
Para i desde k+1 hasta n Hacer: Busca en las filas inferiores un coeficiente numérico mayor en valor absoluto.
Si (|A[i,k]| > |A[Fila_Max,k]|) Entonces Fila_Max = i
Si (Fila_Max != k) Entonces IntercambiarFilas(A, b, k, Fila_Max) Evita divisiones por cero o cercanas a cero para reducir errores de redondeo.
// --- PROCESO 2: TRIANGULACIÓN (ELIMINACIÓN) ---
Para i desde k+1 hasta n Hacer: Modifica todas las filas que se encuentran debajo del pivote seleccionado.
Factor = A[i,k] / A[k,k] Calcula el multiplicador escalar gaussiano necesario para hacer cero el término.
Para j desde k hasta n Hacer: Resta la fila pivote ponderada a todos los elementos correspondientes de la fila actual.
A[i,j] = A[i,j] - Factor * A[k,j]
Fin Para
b[i] = b[i] - Factor * b[k] Aplica exactamente la misma operación elemental sobre el vector de términos libres.
Fin Para
Fin Para
// --- PROCESO 3: RETROSUSTITUCIÓN ---
X[n] = b[n] / A[n,n] Resuelve de manera directa la última incógnita en la base triangular.
Para i desde n-1 hasta 1 con paso -1 Hacer: Asciende fila por fila para calcular las variables restantes.
Suma = 0
Para j desde i+1 hasta n Hacer: Acumula las multiplicaciones de los valores ya calculados previamente.
Suma = Suma + A[i,j] * X[j]
Fin Para
X[i] = (b[i] - Suma) / A[i,i] Despeja la incógnita local dividiendo por su propio coeficiente diagonal.
Fin Para
Mostrar X

2. Simulador Interactivo por Fases (Sistema 3x3)

Introduce los datos numéricos deseados y presiona el botón para observar el desglose detallado de los procesos secuenciales.

x₁ + x₂ + x₃ =
x₁ + x₂ + x₃ =
x₁ + x₂ + x₃ =

Presiona el botón superior para generar los reportes de cálculo.