Newton-Raphson No Lineal

1. Arquitectura del Algoritmo (Pseudocódigo)

$$ J(X^{(k)}) \Delta X^{(k)} = -F(X^{(k)}) \quad \Rightarrow \quad X^{(k+1)} = X^{(k)} + \Delta X^{(k)} $$

                Leer X0, Tol, MaxIter
                Define el vector de aproximación inicial [x0, y0], la tolerancia y las iteraciones límites.
            
                X = X0
                Inicializa el vector de variables dinámicas del sistema.
            
                Para k desde 1 hasta MaxIter Hacer:
                Ciclo iterativo principal para la aproximación de la raíz numérica.
            
                F_val = EvaluarSistema(X)
                Evalúa el set de funciones no lineales: f1(x,y) y f2(x,y).
            
                J = EvaluarJacobiano(X)
                Calcula analíticamente la matriz de derivadas parciales en el punto actual.
            
                DetJ = J[1,1]*J[2,2] - J[1,2]*J[2,1]
                Obtiene el determinante para invertir simbólicamente la matriz de dimensión 2x2.
            
                Si (|DetJ| < 1e-12) Entonces Error("Jacobiano Singular")
                Previene indeterminaciones matemáticas si las derivadas tienden a cero.
            
                // Solución directa del sistema lineal: J * DX = -F
            
                DX[1] = (-F_val[1]*J[2,2] + F_val[2]*J[1,2]) / DetJ
                Aplica la Regla de Cramer para hallar el incremento espacial Δx.
            
                DX[2] = (-J[1,1]*F_val[2] + J[2,1]*F_val[1]) / DetJ
                Aplica la Regla de Cramer para hallar el incremento espacial Δy.
            
                X_nuevo = X + DX
                Actualiza el vector solución sumando los diferenciales calculados.
            
                NormaError = MaximoAbsolute(DX)
                Establece la norma del paso como criterio estricto de parada.
            
                Si (NormaError < Tol) Entonces Salir Ciclo
                Finaliza exitosamente al romper el umbral de tolerancia.
            
                X = X_nuevo
                Prepara el vector para el siguiente ciclo del algoritmo.
            
                Fin Para
            
                Mostrar X

2. Simulador de Sistemas No Lineales

Sistema No Lineal Cargado de Forma Nativa:

$$ f_1(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0 \quad \text{(Circunferencia)} $$ $$ f_2(x, y) = e^x + y - 1 = 0 \quad \text{(Exponencial)} $$

Aproximación Inicial x₀

Aproximación Inicial y₀

Tolerancia

Raíz Encontrada (x*, y*)

Iteraciones Totales

Error de Cierre Residual

Espacio Bidimensional de Intersección de Curvas

Historial del Perfil de Convergencia (Error)